Родился 11 октября 1879 года в Новочеркасске, Область Войска Донского. Его отец — Михаил Фирсович был большим любителем музыки, передав эту любовь сыну.
С пяти лет Константин начал обучаться игре на скрипке.
В восемь лет он исполнил свой первый концерт, с девяти лет дирижировал симфоническим концертом в Екатеринодаре.
До революции он проявил себя как виртуозный музыкант-исполнитель.
В 1889 году дал первое концертное турне Кости Думчева по России (Петербург, Москва, Харьков, Киев, Саратов и другие города), а затем совершил концертная поездка по городам Сибири. Завершением турне явились выступления в Китае, Японии и Америке. 24 апреля 1893 года Думчев давал концерт царской семье в Ливадии. Константин Думчев был лично знаком с Чайковским, который подарил ему в 1893 году в Одессе скрипку работы итальянского мастера Санто-Серафино.Афиша выступления в НовочеркасскеВ период с 1894 по 1900 годы скрипач не гастролировал.
В это время занимался изучением музыки и общеобразовательных дисциплин в Петербургской консерватории, затем — у скрипача Сезара Томсона.
В 1900 году решил продолжить своё образование в Московской консерватории в классе И. В. Гржимали. Окончил консерваторию в 1902 году с золотой медалью и занесением имени на Доску почёта.Константин Думчев проявил себя и как композитор.
В годы обучения в Петербургской консерватории он изучал гармонию под руководством А. К. Лядова. Думчев — автор около 50 произведений, среди которых два концерта, две сюиты, три мазурки, каприччио, вариации на тему песни «Ехал казак за Дунай» , две испанские серенады, несколько ноктюрнов и ряд небольших скрипичных произведений.После Октябрьской революции Думчев посвятил себя преподавательской и общественной деятельности в родном городе.
В дни Великой Отечественной войны выступал в госпиталях.Умер 24 ноября 1948 года в Новочеркасске. Был похоронен на Городском кладбище.
На пьедестале надгробия надпись: «Скрипач-виртуоз Константин Михайлович Думчев. 1879 11/Х — 1948 24/XI» .