Происходил из аристократической итальянской семьи, предки которой в XIV столетии переселились в Италию из Албании.
В феврале 1721 года папа римский Иннокентий XIII посвящает Алессандро Альбани в сан кардинала Римско-католической церкви. Одновременно ему была отписана титулярная римская церковь Санта-Мария-ин-Космедин. Примечательно, что до этого Алессандро вообще не был духовным лицом. Лишь после получения кардинальского титула он был благословлён в сане субдиакона.
В 1741 году стал кардиналом-дьяконом римской церкви Сант-Агата-ин-Субурра, в то же время удержал за собой и свои прежние церковные титулы.
В 1747 году ему перешла титульная церковь Санта-Мария-ин-Виа-Лата и сан кардинала-протодьякона.Неоднократно участвовал в выборах претендентов на папский престол в Риме. Как кардинал заседал в следующих конклавах: 1724 года, когда был избран папа Бенедикт XIII1730 года, когда был избран папа Климент XII1740 года, когда был избран папа Бенедикт XIV1758 года, когда был избран папа Климент XIII1769 года, когда был избран папа Климент XIV1774—1775 годов, когда был избран папа Пий VI.Был страстным поклонником античного и классического искусства. Построил в Риме знаменитую виллу Альбани, в которой разместил свою коллекцию древнегреческих и римских произведений искусства. Художественным оформлением виллы Альбани занимались Антон Рафаэль Менгс и Иоганн Иоахим Винкельман.Из семьи Альбани, кроме Алессандро, вышло немало высших лиц католической церкви. Среди них — римский папа Климент XI и кардиналы Джованни Франческо Альбани, Джузеппе Альбани, Аннибале Альбани и др.
Карта сайта
