Родился 23 июня 1924 года в деревне Колкач Петриковской волости Вологодской губернии в крестьянской семье. Отец — Веселов Григорий Никифорович, работал председателем сельского Совета, позже возглавлял колхоз; мать — Мария Матвеевна, была домохозяйкой.
В 1936 году семья переехала на Урал в село Зайково Ирбитского района Свердловской области.
В 1942 году Николай окончил зайковскую среднюю школу, был призван в Красную армию и после обучения в военно-пехотном училище — направлен в звании лейтенанта на фронт.
В августе 1943 года, в боях за освобождение Харькова, был тяжело ранен и до февраля 1944 год находился в госпитале в Свердловске.После демобилизации из армии, будучи инвалидом третьей группы, поступил на учебу в Уральский политехнический институт (УПИ), в котором с отличием окончил инженерно-экономический факультет (в 1949 году) и был оставлен работать на кафедре экономики и организации предприятий черной металлургии.
В 1954 году защитил кандидатскую диссертацию (доцент с 1957 года), а через 10 лет — докторскую (профессор с 1966 года).
В 1966 году Н. Г. Веселов был избран деканом инженерно-экономического факультета УПИ; занимал эту должность до назначения в 1971 году ректором Свердловского института народного хозяйства (ныне — Уральский государственный экономический университет.Николай Григорьевич Веселов являлся неоднократным участником ВДНХ СССР, в числе наград которой — серебряные медали за участие в разработке комплексного плана развития народного хозяйства Ленинского района города Свердловска и создание автоматизированной системы на Свердловском мясокомбинате.Кроме научной работы, участвовал в общественно-политической жизни — будучи членом КПСС, избирался в состав Кировского и Ленинского райкомов партии Свердловска и Свердловского обкома КПСС; был депутатом Свердловского городского Совета депутатов трудящихся.Внешние изображенияНадгробный памятникМемориал супругов ВеселовыхУмер 3 ноября 1982 года в Свердловске, похоронен на Широкореченском кладбище города. Рядом с ним позже была похоронена жена — Раиса Ивановна.Их дочь — Куклина Людмила Николаевна, тоже стала учёным, работала доцентом на кафедре экономической теории Уральского государственного экономического университета.