Алексей Григорьевич Береговой родился 4 июля 1947 года в городе Новошахтинске Ростовской области в семье военного. Семья часто меняла место жительства в разных городах СССР, по причинам, связанными со службой его отца.
В 1957 году отец был демобилизован и семья переехала жить в Ростов-на-Дону.
В 1962 году Алексей Григорьевич окончил восемь классов школы № 83 г. Ростова-на-Дону. Следующим его местом учебы был Ростовский строительный техникум, его он закончил в 1966 году.
С 1966 по 1968 год проходил службу в армии, где учился в школе младших авиационных специалистов (ШМАСЕ, г. Могилёв-Подольский Винницкой области), затем — в Учебном центре боевого применения авиации Варшавского договора, расположенном Астраханской области (авиабаза Трусово). Демобилизовавшись, он около 20 лет работал прорабом, старшим прорабом, начальником участка в разных строительных организациях Ростова-на-Дону.
В настоящее время А. Береговой живет и работает в Ростове-на-Дону.