В 1956 году окончил с золотой медалью среднюю школу в г. Балашиха, Московской области и поступил в 2-й Медицинский институт.
С июня 1957 года стал активно посещать лекции ученых-генетиков в Московском обществе испытателей природы.
С 1978 по 2000 годы являлся заместителем председателя бюро секции генетиков в этом обществе.
В 1963 году поступил в аспирантуру по специальности «генетика» . Научным руководителем Акифьева был Николай Петрович Дубинин.
В 1967 году защитил кандидатскую диссертацию, а в 1986 году — докторскую.
В 1990 году ему было присвоено звание профессора.
В течение многих лет А. П. Акифьев руководил исследованиями в области мутагенеза.
С 1965 по 1975 годы работал в Институте общей генетики им. Н. И. Вавилова АН СССР.
С 1975 по 1997 годы руководил группой молекулярных механизмов мутагенеза в Институте химической физики имени Н. Н. Семёнова РАН.
С 1997 года и до последних дней являлся главным научным сотрудником и руководителем группы мутагенеза в Институте общей генетики им. Н. И. Вавилова, РАН.
С 1963 года Алексей Павлович начинает заниматься педагогической работой: читает лекции по генетике во 2-м Мединституте, МГУ им. М. В. Ломоносова, Нижегородском Университете, в Московском инженерно-физическом институте. Являлся профессором университета «Дубна» .