По происхождению немец. Из семьи капельмейстера чёрных гусар великого герцога Брауншвейгского. Начальное музыкальное образование получил у своего отца, затем окончил Брауншвейгское музыкальное училище.
В 1847 переехал в Санкт-Петербург.
В 1847 году был назначен солистом Императорского двора и оркестра Дирекции Императорских театров в Санкт-Петербурге (до 1878 г.). с 1862 года — солист Его императорского величества. Более 40 лет был ведущим солистом-концертантом, его манера исполнения стала определяющей для российской традиции игры на корнете и трубе. Гастролировал в Перми, Нижнем Тагиле, Екатеринбурге, Тамбове, Саратове (неоднократно), Кишинёве.
В 1862 году, при открытии Санкт-Петербургской консерватории, был приглашён в число её профессоров.
В преподавании широко использовал традиции русского музыкального исполнительства.
В консерватории им впервые были созданы классы «совокупной игры» (камерный ансамбль). Среди его учеников — Ю. Аавик, И. И. Армсгеймер, А. В. Гордон, А. В. Иогансон, А. Н. Шмидт. Преподавал игру на корнете императору Александру III.
В декабре 1874 получил российское подданство.
С 1869 по 1889 год служил капельмейстером музыкантских хоров войск российской императорской гвардии.
В 1894 году вышел на пенсию, однако в 1897—1904 гг. состоял на оплате по числу учеников в Петербургской консерватории.
В 1873 году встретил и подружился с Жаном-Батистом Арбаном, который посвятил ему одно из своих сочинений — музыкальную пьесу «Kaprise og variasjoner» .Автор многих военных маршей, учебника «Школа для корнета с пистонами» (издано в 1929 г.) и «Сборника всех русских гвардейских полковых маршей» для фортепиано. Ему принадлежит ряд сочинений для военного оркестра, 40 квартетов для духовых инструментов, 30 трио и 41 дуэт.Вурм также служил придворным музыкальным советником императоров Александра II и Александра III.Будучи современником А. Г. Рубинштейна, Г. И. Венявского и К. Ю. Давыдова, неоднократно принимал с ними участие в концертах.Член Петербургского филармонического общества (с 1854, с 1864 — один из его директоров).