Родился 3 октября 1767 года на площади Сент-Джеймс в Лондоне, старший сын Арчибальда Гамильтона (1740—1819), 9-го герцога Гамильтона и 6-го герцога Брендона (1799—1819), и Гарриет Стюарт (1750—1788).Получил образование в лондонской школе Харроу и колледже Крайст-Чёрч в Оксфорде.Александр Гамильтон был членом партии вигов, политическую карьеру начал в 1802 году, когда он был избран депутатом в парламент от Ланкастера. Заседал в палате общин до 1806 года, когда он был назначен членом Тайного совета и послом в Санкт-Петербурге (1807).
В 1802—1852 годах Александр Гамильтон был лордом-лейтенантом Ланаркшира.Александр Гамильтон в 15 лет, портрет Джошуа РейнольдсаВ феврале 1819 года после смерти своего отца Александр Гамильтон унаследовал титулы герцога Гамильтона, герцога Брендона, маркиза Клайдсдейла, маркиза Дугласа, графа Аррана и Кембриджа, графа Ланарка, графа Ангуса, а также другие титулы.Лорд-стюард на коронации короля Вильгельма IV в 1831 году и коронации королевы Виктории в 1838 году.
В 1836 году стал кавалером ордена Подвязки.
Он занимал должности великого мастера Великой ложи Шотландии (1820—1822), президента Хайленда и сельскохозяйственного общества Шотландии (1827—1831). Попечитель Британского музея (1834—1852).