Борис Михайлович Гагаев родился 20 июля 1897 года в Казани в семье служащего.
В годы обучения в гимназии увлёкся математикой, а после окончания гимназии в 1916 году поступил на математическое отделение физико-математического факультета Казанского университета. Под руководством профессора Н. Н. Парфентьева Б. М. Гагаев занимался теорией функций действительного переменного, расходящимися рядами, дифференциальными и интегральными уравнениями.
С 1923 года до конца жизни Б. М. Гагаев преподавал в Казанском университете. После окончания университета в 1923 году он был оставлен научным сотрудником при кафедре математики. После учреждения в Казанском университете аспирантуры Б. М. Гагаев стал аспирантом Н. Н. Парфентьева.Окончив аспирантуру в 1929 году, Б. М. Гагаев стал доцентом кафедры математики, а с 1934 года заведовал созданной им кафедрой математического анализа.
В 1936 году он был утверждён в учёной степени доктора физико-математических наук без защиты диссертации.
В 1934-1941 и 1944-1947 годах он заведовал также сектором анализа Научно-исследовательского института математики и механики имени Н. Г. Чеботарева при КГУ.
В 1945-1947 годах Б. М. Гагаев - декан физико-математического факультета Казанского университета.Одновременно с работой в Казанском университете Б. М. Гагаев с 1927 года преподавал в Казанском педагогическом институте, а впоследствии заведовал там кафедрой высшей алгебры и элементарной геометрии.
В годы Великой Отечественной войны он работал с 1943 по 1945 гг. старшим инженером аэродинамической лаборатории Казанского авиационного института.Много внимания Б. М. Гагаев уделял воспитанию математической молодежи. Среди его учеников немало крупных математиков: академик АН Белорусской ССР Ф. Д. Гахов, член-корреспондент АН Киргизской ССР Я. Б. Быков, профессора Г. С. Салехов, М. А. Пудовкин, Ю. Г. Борисович, И. А. Киприянов, В. Н. Монахов, Г. А. Фрейман. Всего Б. М. Гагаев воспитал более 60 кандидатов физико-математических наук.Б. М. Гагаев награждён орденом Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.