Отец Борна после своего возвращения из советского плена в 1950 году работал на железной дороге. Вскоре семья переехала в Штральзунд, где Борн окончил школу.29 августа 1963 года поступил в Высшую Офицерскую Школу ВМС им. Карла Либкнехта, которое закончил 1 октября 1967 года с присвоением звания лейтенант цур Зее. Во время учёбы вступил в СЕПГ.
В 1967—1970 годах служил офицером-корректировщиком огня на сторожевых кораблях проекта 50 в 4-й флотилии в Варнемюнде.
В 1970—1972 годах командовал минным тральщиком класса Кондор-2 № 345 «Риеса» . 7 октября 1972 года ему было присвоено звание капитан-лейтенанта.
В том же году Борн был направлен на учёбу в Военно-морскую академию им. К. Е. Ворошилова в Ленинград.
В Ленинграде он встретил Инессу Андреевну Комкову, которая вскоре стала его женой.
В 1976 году он с отличием закончил своё обучение и вернулся в ГДР и был назначен командовать сторожевым кораблём № 142 проекта 1159 типа Дельфин, который должен был прибыть из СССР. Этот корабль, получивший название «Берлин» , прибыл в ГДР и вошёл в состав Фольксмарине только в мае 1979 года, но возглавил его уже другой офицер. А Борн и его команда в ожидании корабля жили до 1978 года на блокшиве 4-й флотилии в гавани Варнемюнде.
В 1978 году он был назначен на должность руководителя рабочей группы по оперативной работе в штабе 4-й флотилии (Leiter der Arbeitsgruppe operative Arbeit in den Stabsdienst der 4. Flottille). Участвовал в подготовке военно-морской составляющей больших манёвров стран-участниц ОВД «Братство по оружию 80» . 7 октября 1980 года он получил очередное звание фрегатен-капитана.
В 1981 году недолго занимал должность руководителя подотдела по оперативной работе в штабе 4-й флотилии.
В 1981—1983 годах служил начальником штаба и заместителем командира 4-й бригады охраны побережья (Stellv. u. Stabschef der 4. Sicherungsbrigade).
В 1983—1984 занимал должность начальника штаба и заместителя командующего 1-й флотилией в Пенемюнде. 1 декабря 1984 года возглавил флотилию. 1 марта 1985 года ему было присвоено звание капитана цур Зее, а 7 октября 1988 года он стал контр-адмиралом, самым молодым контр-адмиралом в Фольксмарине.
В августе 1988 года он руководил дружественным визитом кораблей восточногерманского флота в Гётеборг, в гости к шведскому флоту.После того как адмирал Теодор Хофман занял пост Министра Национальной Обороны, Хенрик Борн был назначен на освободившуюся должность командующего Фольксмарине. 11 декабря 1989 года ему было присвоено звание вице-адмирала. 2 октября 1990 года Борн был уволен в отставку. После объединения Германии Борн несколько недель служил гражданским советником у адмирала флотилии Бундесмарине Дирка Хортена, который принял командование над тем, что осталось от ВМС ГДР. После увольнения в отставку Борн некоторое время работал на бременской верфи Bremer Vulkan, позже он устроился в фирму MAN Turbo AG менеджером по продажам в регионе Каспийского моря.