В 1975 году окончил Краснодарский государственный институт культуры.
С 1959 года работал в Крымском театре кукол — начинал работником сцены и осветителем, с 1962 был актёром, с 1978 по 2013 год — главный режиссёр, с 1998 года — художественный руководитель.Борис Азаров был членом Международного союза деятелей театра кукол (UNIMA)), членом Комиссии по работе с театрами кукол при Президиуме Академии искусств Украины.
На протяжении четырех лет Борис Иванович возглавлял Международное жюри кукольников Европы. Являлся лауреатом множества премий за значительный вклад в развитие культуры и за достижения в области кукольного и театрального искусства.