Родился в деревне Волынь Рязанского уезда Рязанской губернии, но с раннего детства жил в Петербурге, где его отец Даниил Александрович Александров и мать Елизавета Иосифовна Бартошевич преподавали в гимназии (до 1917 года именовавшейся гимназией княгини Оболенской, затем переименованной в 16-ю единую трудовую школу). Кроме Александра в семье были ещё две дочери Вера (1910 года рождения) и Мария (1914 года рождения). Оба родителя были дворянского происхождения. Отец, Даниил Александрович Александров, происходил из старинного дворянского рода, поступил в Петербургский университет на естественное отделение, за участие в студенческих волнениях исключался из университета, но всё же смог успешно его закончить. Мать, Елизавета Иосифовна Бартошевич, происходила из польского дворянского рода, окончила Педагогический институт. При Советской власти отец стал директором 16-й средней школы, был членом Петроградского Совета, а мать — членом Ленинградского Совета.
В 1930 году по причине беспартийности отец был отстранен от должности директора школы. Оба родителя оказались в блокадном Ленинграде, где отец умер от голода в 1942 году, мать же весной 1942 года была эвакуирована к сыну в Казань.ОбразованиеВ 1928 году — окончил среднюю школу (в одном классе с ним учился будущий писатель и драматург В. А. Лифшиц), но по причине юного возраста родители отсоветовали ему поступать в университет поэтому он год проучился в художественной школе.
В 1929 году — поступил на физическое отделение физико-математического факультета Ленинградского государственного университета (ЛГУ), который окончил за 4 года в 1933 году по специальности теоретическая физика. Дипломную работу «Вычисление энергии двухвалентного атома по методу Фока» защитил на «отлично» .
В ЛГУ его учителями были физик В. А. Фок и математик Б. Н. Делоне. Отказался от рекомендации в аспирантуру, сказав: «я не могу поручиться, что я всегда буду делать то, что полагается» .
В результате получил выговор и два комплимента: один от В. А. Фока: «Вы слишком порядочный человек» , а другой от Б. Н. Делоне: «Александр Данилович, Вы слишком не карьерист» .РаботаС декабря 1930 года по октябрь 1932 года — работал в Государственном Оптическом Институте в должности научно-технического сотрудника.
В 1932 году — перешёл на работу в Физический институт ЛГУ, где работал в теоретическом отделе до 1936 года в качестве научного сотрудника.с 1933 — работал ассистентом на математико-механическом факультете ЛГУ;с 1937 года — и. о. профессора на математико-механическом факультете ЛГУ;с 1944 года — профессором на математико-механическом факультете ЛГУ;с 1936 года — перешёл полностью на работу по математике;с 1937 по 1938 год — работал и. о. профессора Педагогического института им. Покровского (Ленинград);с 1938 по 1953 год — старший научный сотрудник Математического института АН СССР в Ленинграде (с ноября 1941 года по осень 1944 год в эвакуации в Казани);1945 год — утверждён в звании профессора по кафедре геометрии (решение Высшей аттестационной комиссии от 10 февраля 1945 года);с 1965 по 1982 год — был заведующим кафедрой геометрии и топологии в НГУ. Александров создал новое направление в теории дифференциальных уравнений эллиптического типа — геометрическую теорию уравнений эллиптического типа;с апреля 1952 года по октябрь 1964 года — ректор ЛГУ;с 1953 года по 1960 год — заведующий кафедрой геометрии ЛГУ;1986 год — вернулся в Ленинград на должность заведующего лабораторией геометрии и топологии Ленинградского отделения Математического института АН СССР (ЛОМИ);с 1964 года по 1986 год — жил в Новосибирске, заведовал отделом обобщённой римановой геометрии в Институте математики СО АН СССР и преподавал в Новосибирском государственном университете.Научная степень1935 год — защищает кандидатскую диссертацию;1937 год — защищает докторскую диссертацию (диплом ФМ № 000139 выдан решением Высшей аттестационной комиссии от 29 марта 1938 года) диссертации.Член научного общества1946 год — избран членом-корреспондентом АН СССР;с июня 1964 года — академик АН СССР,с 1975 года — академик итальянской Национальной Академии Сорока (Accademia dei Quaranta);с 1988 года — советник при дирекции ЛОМИ. Был членом правления Ленинградского математического общества.Политическая деятельностьАлександров всю свою жизнь придерживался коммунистического мировоззрения, при этом он понимал порочность политической системы СССР и не скрывал своё отношение к ней.1951 год — вступил в КПСС.
С 1958 по 1962 год — избирался депутатом Верховного Совета РСФСР 5-го созыва.1961 год — воздержался при голосовании закона, вводящего смертную казнь за валютные операции с приданием этой норме обратной силы.
Это было единственным зафиксированным в истории случаем неединогласного голосования на пленарных заседаниях доперестроечных Верховных Советов СССР и РСФСР (с 1937 по 1985 год).СмертьСкончался после продолжительной болезни, похоронен на Богословском кладбище (Санкт-Петербург).